Нахождение обратной матрицы

Нахождение обратной матрицы

Обратная матрица — такая матрица A^-1, при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E.
Для неквадратных матриц и матриц, чей определитель равен нулю (вырожденных матриц) обратных матриц не существует.
Это общее, теперь частности, есть несколько способов нахождения обратной матрицы, мы будем находить её с помощью матрицы алгебраических дополнений, вот формула, с помощью которой мы и будем это делать.

— транспонированная матрица алгебраических дополнений;
A^-1 - обратная матрица
detA - определитель матрицы
Нахождение обратной матрицы можно разделить на несколлько этапов:
1) Находим определитель матрицы
2) Находим матрицу алгебраических дополнений
3) Транспортируем матрицу алгебраических дополнений
4) С помощью вышеуказанной формулы рассчитываем обратную матрицу

Для примера возьмем матрицу:

Находим определитель данной матрицы
Для нахождения детерминанта матрицы используется широко известный метод Гаусса. В основе его работы лежит идея последовательного приведения квадратной матрицы к треугольному виду с помощью набора элементарных преобразований. После чего вычисление определителя матрицы сводится к нахождению простого произведения элементов, находящихся на главной диагонали.
Элементарные преобразования, используемые в методе Гаусса:
Перестановка местами любых двух строк матрицы, при этом по свойству определителя матрицы, знак детерминанта меняется на противоположный.
Прибавление к любой строке матрицы любой другой строки, умноженной на константу не равную 0, при этом значение и знак определителя не меняются.

Исходная матрица

Нам нужно привести ее к треугольному виду:

То есть, на месте тех элементов, что обведены красным, должны быть нули, тогда перемножив элементы обведенные синим, мы получим определитель.

Начнем преобразования

Преобразуем матрицу так, чтобы на месте единицы был ноль
Повторимся:
При прибавлении к любой строке матрицы любой другой строки, умноженной на константу не равную 0, значение и знак определителя не меняются. В нашем конкретном случае: При прибавлении ко второй строке первой строки, умноженной на константу не равную 0, значение и знак определителя не меняются.
То есть нам нужно найти константу, при умножении на которую первый элемент в первой строке стал бы -2, тогда при сложении 1 и 2 строки на месте двойки обведенной красным цветом получим ноль.
Чтобы из 5, получить -2, нужно домножить 5 на: (-2)/5=-0,4.

В результате этих действий получаем:

Далее преобразовываем матрицу, чтоб на месте первого элемента третей строки был ноль, действуем по той же схеме. Чтобы из 5, получить -3, нужно домножить 5 на: (-3)/5=-0,6.

Вот что вышло, поехали дальше

Осталось сделать так, чтоб на месте -0,8 был ноль, для этого на месте 6,8 должно быть 0,8. Чтобы из 6,8, получить 0,8, нужно домножить 6,8 на: (0,8)/6,8=0,1176.

В результате этих действий получаем:

Матрица приведена к треугольному виду, осталось перемножить элементы, расположенные по диагонали: 5*6.8*2.5294=86, все определитель найден.
Дополнение №1: Что делать если матрица имеет вид:

ведь чтобы сделать на месте четверки, ноль, нужно чтобы на месте 0, стояло число -4, но мы не сможем этого сделать, потому что чтобы мы ни умножали на ноль, будет ноль. В таких случаях, мы просто меняем строки местами, при этом знак определителя измениться на противоположный:

Дополнение №2: если строка или столбец матрицы состоит из элементов равных нулю, то и определитель матрицы равен нулю, например определитель такой матрицы равен нулю:



Вычисление матрицы алгебраических дополнений

Чтобы найти алгебраические дополнения матрицы, необходимо определить соответствующие миноры ее элементов с определенным знаком. Знак зависит от того, в какой позиции стоит элемент. Если сумма номеров строки и столбца – четное число, то алгебраическое дополнение будет положительным числом, если нечетное – отрицательным, то есть:

где — определитель матрицы, получающейся из исходной матрицы А путем вычёркивания i -й строки и j -го столбца.
Пример:

Возьмем выше представленную матрицу, и выведем из нее матрицу алгебраических дополнений
В итоге у нас получиться вот такая матрица:



Как найти элементы A22, А23, А31, А32, А33 мы здесь расписывать не будем.

Повторимся, элемент Aij, определитель матрицы, получающейся из исходной матрицы путем вычёркивания i -й строки и j -го столбца. Ну и на (-1) i+j , не забываем умножать.
Например элемент А21 равен определителю матрицы

, умноженному на (-1)²⁺¹, (-1) в третьей степени равно минус одному, так что после умножения определителя на 1, знак не поменяется.
В результате у нас получается вот такая матрица алг. дополнений:



Транспортируем матрицу алгебраических дополнений

Транспонированную матрицу можно получить, поменяв строки и столбцы матрицы местами.
В нашем случае:



С помощью вышеуказанной формулы рассчитываем обратную матрицу

Тут все просто, формула у нас есть
, остается только подставить в нее значения. Для справки: результатом умножения матрицы на число, является матрица B, каждый из элементов которой, равен произведению соответствующего значения из матрицы A на множитель, то есть первый элемент первой строки, равен 24/86=0,2791.



Кстати, в программе есть кнопки



если  надо, используйте их.

Есть в ней и кнопка , на печать она выводит решение именно в том виде, в котором вы его развернули, то есть если вы нажали на кнопку «Показать нахождение определителя», то на печать выйдет  нахождение обратной матрицы, с развернутым нахождением определителя.